Diffraction et formation des images : Fondamentaux

Propagation du spectre angulaire

Considérons le spectre angulaire de l'onde U situé à la distance z suivant l'axe de propagation (voir figure II-2) :

Image II-2- Propagation du spectre angulaire suivant z.
Image II-2- Propagation du spectre angulaire suivant z. [zoom...]

Pour trouver les effets de la propagation des ondes sur le spectre angulaire de la perturbation il faut trouver une relation entre et . On sait que U(x,y,z) peut s'écrire sous la forme d'une TF-1 :

équation II-10

En outre U doit satisfaire l'équation d'Helmoltz en tout point où il n'y a pas de source. En remplaçant (II-10) dans (II-9) et après calcul, on s'aperçoit que doit satisfaire l'équation différentielle suivante [] :

Une solution élémentaire de cette équation s'écrit sous la forme :

équation II-11

  • Ce résultat montre que lorsque les cosinus directeurs satisfont , l'effet de la propagation sur une distance z se traduit simplement par un changement de phase relatif aux diverses composantes du spectre angulaire.

  • Il arrive parfois (en présence d'un dioptre par exemple) que les cosinus directeurs vérifient , dans ce cas la racine est imaginaire et la relation précédente peut s'écrire :

Comme μ>0 les composantes spectrales sont atténuées par le phénomène de propagation. Des telles composantes spectrales sont appelées « ondes évanescentes ».

  • le cas limite où correspond à des ondes se propageant perpendiculairement à Oz. De ce fait elles ne véhiculent aucune puissance suivant z.

AccueilOutils transversesNouvelle pageInformations sur le cours (ouvrir dans une nouvelle fenêtre)L'équation d'HelmholtzLe phénomène de propagation considéré comme un filtre spatial linéaire